Filosofian maisteri

Tuossa kuun vaihteessa sain virallisesti filosofian maisterin, englanniksi master of science, tittelin ja paperit. Arvosanat 5 matikan syventävistä, 4 gradusta ja filosofian aineopinnoista (asteikolla 1-5).  Laitoin gradun ja kandintyön yliopiston julkaisupalveluun, josta niitä voivat kiinnostuneet lukea.

Nyt olen yliopiston palkkalistoilla tohtorikoulutettavan nimikkeellä. Ohjaajana toimii Mikko Salo ja tutkimus koskee epälineaarisiin differentiaaliyhtälöihin, lähinnä p-Laplace-yhtälöihin, liittyviä inversio-ongelmia.

Nollan parillisuus / parity of nil

Levi asetti blogissaan haasteen: Ottakaa jokin väärinkäsitys ja korjatkaa se yksinkertaisella säännöllä. Suuremman väärinkäsityksen puuttuessa otin erään epätietoisuuden kohteen omalta alaltani. Se löytyy otsikosta.

Nolla on parillinen luku määritelmän mukaan: Kokonaisluku on parillinen täsmälleen silloin kun on olemassa joku kokonaisluku joka kahdella kerrottuna antaa ensimmäisen. Tämä on helpompaa kirjoittaa symbolein: Kokonaisluku on parillinen jos ja vain jos on olemassa kokonaisluku , jolle pätee . Kun on olla, valitaan , jolloin vaadittu yhtälö on muotoa , eli kaikki on kunnossa. Siis nolla on parillinen.

Yleisempi periaate taustalla on, että kun matematiikassa on annettu jokin määritelmä, se pätee myös outoihin tapauksiin ja tylsiin tapauksiin. Määritelmä kiinnittää täsmälleen käsitteen: Kaikki määritelmän mukaiset kohteet ovat sen piirissä ja mikään muu ei ole.

Vähän matikkaa lukeneille seuraavassa on mietittävää: Olkoon joukko. Monta funktiota löytyy? Entä kuvauksia ? Entä tyhjältä joukolta tyhjälle?

Content in English

This is in response to Levi’s challenge.

Nil is an even n. An integer (which means whole number) is even exactly when it is the product of an integer and two. That is, is even if and only if there is an integer such that $a = 2b$. For nil (), selecting works, and so nil is even.

The broader principle here is that in mathematics, definitions are exact: All the mathematical objects that fulfill a definition are examples of what was defined, while nothing else is. Once a definition has been made, it trumps intuition or other concerns.

Ymmärrys

Jotain on tullut yliopistossa opittua. Matematiikan luonteesta kaksi asiaa, filosofiasta yksi.

Matikka ensin.

1. Jokainen väittämä on oikeutettava.
2. Oikeuttaminen eli laskeminen ei ole kiinnostavaa – se, mitä argumentteja ja työkaluja täytyy, kannattaa tai voi käyttää on.

Sitten filosofia.

1. Vastaukset (eli filosofiset teoriat) eivät ole mielekkäitä tuntematta kysymyksiä eli (aate)historiallista taustaa. Kysymysten vaihtuminen ja syntyminen on kiinnostavaa, vastaukset vain joskus.

Matemaattisesta näkökulmasta katsottuna filosofia on triviaalia (eli ilmiselvää) tai huonosti perusteltua. Tästä voi päätellä filosofian olevan hyödytöntä tai näkökulman olevan huono. Jälkimmäinen on osoittautunut hyödyllisemmäksi ajattelutavaksi.

Matematiikkaa en vielä osaa tarkastella filosofisesti. Vastaukset ovat triviaaleja, joten en ole löytänyt oikeita kysymyksiä vielä.

Taideaineita

Kouluun pitäisi saada lisää taideaineiden opetusta (jota koskien kannattaa lukea entisen opettajan teksti). Nykyään siellä opetetaan musiikkia, kuvaamataitoa ja käsitöitä.

Vaihdan aihetta hetkeksi. Useat ammattimaiset matemaatikot kuvaavat työtään taiteeksi tai ainakin käyttävät oleellisesti taiteista tunnettuja sanankäänteitä: (Hyvät) todistukset ovat kauniita tai elegantteja, esimerkiksi.

Vaihdan uudestaan aihetta. Se on kivaa. Matematiikan opetuksessa käytetyt tehtävätyypit ovat seuraavia: Ensin kirjoitetaan lukuja, sitten aletaan opettelemaan käsitteitä, aletaan laskemaan, aletaan tekemään sanallisia tehtäviä, tulee matematiikan piirissä soveltavia tehtäviä (yläaste tai lukio), tulee soveltavia sanallisia tehtäviä (viimeistään lukio), tulee mekaanisia todistuksia (lukio tai viimeistään yliopiston aineopinnot) ja tulee luovuutta vaativia todistuksia (yliopiston aine- tai syventävät opinnot). Myöhemmin toivottavasti tulee väitteiden eli kysymysten ja ongelmien yleistämistä (syventävät tai jatko-opinnot) ja sitten luovaa kysymysten kehittelyä eli asettamista (tutkimus).

Musiikkia on tullut peruskoulussa ja vähän lukiossakin opiskeltua. Siinä harjoiteltiin vähän tekniikkaa eli soittamista, nuottien tulkintaa tai nuottiavaimen kirjoittamista sekä laulutaitoa. Samoin kuvaamataidossa tuli vähän tekniikkaa: Vesivärejä, perspektiivejä, joitain eksoottisia temppuja. Käsitöissä oli kohtalaisen runsaasti tekniikkaa.

Verrataan vaatimustasoja. Matematiikassa on tenttiä (tai koetta) tentin perään ja tietty taso ainakin teoriassa vaaditaan. Heikosti menestyville ainakin teoriassa annetaan tukiopetusta. Lähes kaikki oppivat teknisen puolen hyvin; juuri kukaan ei tiedä luovasta puolesta mitään. Perustelen edellisen virkkeen ensimmäisen lauseen myöhemmin.

Taideaineissa ei juuri mitään vaadita. En osaa laulaa, soittaa enkä juurikaan piirtää, mutta silti sain numeroina muistaakseni seiskoja, joku kuutonen mukana mausteena, ehkä kasikin. En tiedä yleisestä menestyksestä, mutta olettaisin sen olevan heikkoa. Tavoitteena on enemmänkin inspiroida harrastamaan kuin opettaa tekniikkaa (jolla tarkoitan esimerkiksi taitoa soittaa kitaraa).

Ihmiset sanovat olevansa huonoja matematiikassa. Tätä kuulee kiinnostavissa tilanteissa; esimerkiksi matematiikkaa sivuaineena lukevilta yliopistolaisilta. Suurin syy väittämään on kova vaatimustaso. Jos taideaineiden opetusmäärä laitettaisiin vastaamaan matematiikan nykyistä ja tekniikan oppimista painotettaisiin ja vaadittaisiin, alkaisi erittäin moni sanomaan olevansa huono taideaineissa.

Liikunta muistuttaa sikäli matematiikkaa, että siinä opetellaan paljon tiettyjä taitoja ja myös ruumiinhallintaa, kun taas luova puoli jää vähälle.

Äidinkielessä tasapainotetaan luovaa ja teknistä puolta, jotka myös tukevat toisiaan – kielioppia, aineenkirjoitusta, lukemista ja tekstien tulkintaa. Oppiaineena äidinkieli on laaja.

Pitäisi lisätä taideaineiden opetusta. Kelpaisiko matematiikka tai liikunta?

Dimensiolause

Hieman matematiikka, vaihteeksi. Ensin hieman alkuhöpinöitä. Minulla ei ole hyvää kuvaa matemaattisen sisällön haastavuudesta ja esityksen laadusta, joten kertokaa ihmeessä, kuinka pitkälle pystytte sitä seuraamaan.

Olen sivutoimisena tuntiopettajan yliopistolla; tarkennettuna, pidän yhden matematiikan perusopintokurssin yhtä harjoitusryhmää. Harjoitusryhmät toimivat siten, että noin viikkoa etukäteen opiskelijoille jaetaan viidestä kymmeneen harjoitustehtävää, jotka ihmisten oletetaan tekevän kotona. Demotilaisuudessa sitten ihmiset laittavat rukseja lappuun, siten merkiten tekemänsä tehtävät. Niitä sitten taululle kirjoitellaan ja muille selitetään.

Minun roolini on päättää, kuka tekee mitäkin tehtäviä, tai tarkistetaanko niitä kenties ryhmässä, ja tarkastaa taululle tulevat tehtävät. Lisäksi niitä tulee selventää muille kurssilaisille. Välillä teen myös malliratkaisut kaikille harjoituksia pitäville, ja ilmeisesti myös tenttejä pääsen tarkistamaan jossain vaiheessa.

Viime maanantaina hoksasin jotain uutta ja hienoa dimensiolauseesta, joten ajattelin sen myös tänne kirjoitella.

Sitten hieman lineaarialgebraa, nimenomaan äärellisulotteisissa tilanteissa. Lineaarinen tarkoittaa suoraviivaista. Lineaarikuvaus, kirjaimena usein , on kuvaus (eli funktio) yhdeltä lineaariavaruudelta toiselle. Lineaari- eli vektoriavaruus voi esimerkiksi olla lukusuora, taso tai kolmiulotteinen avaruus. Tässä rajoitun tarkistelemaan reaaliavaruuksia, jotka merkitään perinteisesti , missä on ulottuvuus eli dimensio. Lukusuora on eli , taso on , kolmiulotteinen avaruus on . Tässä siis on joku luonnollinen luku. Vektoriavaruuksissa on mielekästä laskea niiden alkioita eli vektoreita yhteen ja kertoa niitä reaaliluvuilla. Lisäksi vektoriavaruuksissa on aina yksikäsitteinen nolla-alkio, jota merkitään vain numerolla nolla. Surkastunut erikoistapaus lineaariavaruudesta on nolla-avaruus: Se sisältää pelkän nollan. Se on tylsä, mutta yksinkertaistaa asioita, joten se hyväksytään lineaariavaruudeksi. Tyhjää joukkoa yleensä ei hyväksytä, koskapa sille ei käyttöä olisi lainkaan ja se vaatisi erityishuomiota.

Kuvaus on lineaarinen, jos se toteuttaa kaksi ehtoa:

1. Kaikilla reaaliluvuilla ja kaikilla vektoreilla pätee
2. Kaikilla vektoreilla pätee

Laiskoina otuksina matemaatikot joskus jättävät sulut kirjoittamatta, koskapa lineaarikuvausten tapauksessa se ei aiheuta epäselvyyttä. Tätä tapaa en nyt ota käyttöön.

Ensimmäisestä ominaisuudesta yllä seuraa, että , missä on mielivaltainen vektori; siis lineaarikuvaus kuvaa nollan aina nollaksi. Tästä utelias matemaatikko saa päähänsä kysyä: kuvaako jokin lineaarikuvaus muita lukuja nollaksi? Toinen kysymys koskee lineaarikuvausten injektiivisyyttä, eli kuvaavatko ne aina eriävät lähtöavaruuden alkiot eri alkioiksi maalipuolella? On helppoa (ensimmäisen vuoden matematiikan opiskelijalle helppoa) osoittaa, että lineaarikuvausten tapauksessa nämä kaksi kysymystä ovat yhtäpitäviä: kuvaus on injektio jos ja vain jos se kuvaa ainoastaan nollan nollaksi.

Toinen matemaatikoita kuvausten yhteydessä askarruttava asia on kuvauksen surjektiivisuus, jolla tarkoitamme sitä, osuuko kuvaus kaikkiin maalipuolen arvoihinsa. Surjektiivisuuden selvittäminen helposti ja siististi vaatii dimensiolauseen; käsin sen voi myös tehdä ihan määritelmän mukaan, mutta sen sivuutan tässä.

Lineaariavaruuksilla on dimensio, joka kertoo, kuinka suuria ne ovat. Aloitetaan tasosta: ajattele suorakulmion muotoista tasoa, esimerkiksi pöytää tai paperiarkkia. Kiinnitä siitä yksi piste nollaksi; vaikkapa kulma. Nyt, jos saat kulkea vain yhden pöydänsivun suuntaisesti (sekä eteen- että taaksepäin) ja aloitat nollasta, saavutat vain yhdellä suoralla olevat pisteet. Toisaalta, jos saat kulkea sekä pysty- että vaakasuoraan (tai pohjois-etelä- ja itä-länsi-suuntiin) ja yhdistellä näitä mielivaltaisesti, niin pääset mihin tahansa pöydän pisteeseen. Tämä pätee yleisesti: Jos tasolta ottaa kaksi suuntaa, eli kaksi pistettä (nollan kiinnittämisen takia jokainen siitä poikkeava piste määrää suunnan) jotka eivät kumpikaan ole nollia, niin nämä suunnat virittävät koko tason, kunhan eivät ole samalla suoralla eli samansuuntaisia (tai vastakkaissuuntaisia). Tästä syystä on perusteltua sanoa, että tason ulottuvuus on kaksi: tasan kaksi vektoria virittävät sen. Kolmiulotteisen avaruuden dimensio on yllättäen kolme: suunniksi voi valita esimerkiksi sivulle, eteen ja ylös. Yksiulotteisen avaruuden eli lukusuoran virittää yksi vektori. Nolla-avaruuden dimensioksi määritellään nolla, mikä vaikuttaa myös intuition mukaiselta. Voidaan osoittaa, että kaikki saman ulottuvuuden avaruudet ovat oleellisesti samanlaisia; tämä pätee vain äärellisulotteisille avaruuksille, enkä lainkaan muista todistuksen vaativuutta tai ideaa.

Pitänee tässä aliavaruuksistakin muutama sana sanoa. Tasolla kulkeva suora on tason yksiulotteinen aliavaruus, millä tarkoitetaan sitä, että se on itsessään aliavaruus, mutta sattuu olemaan upotettu tasoon. Aliavaruus on helppo käsite, eikä sen kanssa kannata hirveästi hikoilla. Kolmiulotteisen avaruuden sisässä oleva taso, esimerkiksi talon seinä, on ihan kelvollinen mielikuva aliavaruudesta. (Pitänee huomauttaa, että kaikki lineaariavaruudet jatkuvat äärettömän pitkälle kaikkiin suuntiin, joihin ne ylipäätänsä ulottuvat; aivan kuin lukujakin löytyy mielivaltaisen suuria. Esimerkit ovat äärellisiä johtuen fyysisen maailman rajoituksista, joita pahoittelen.)

Takaisin lineaarikuvauksiin. Niillä on aina joku lähtöavaruus ja joku maaliavaruus. Niiden välillä ei vielä ole mitään yhteyttä. Otetaan käyttöön uusi käsite: Kuva-avaruus. Se on aina maaliavaruuden aliavaruus ja voi joskus olla koko maaliavaruus (joka siis on oma aliavaruutensa; matemaattisen kielenkäytön ihmeitä). Äärimmäinen esimerkki on nollakuvaus, joka kuvaa koko lähtöavaruuden nollaksi. Tällöin kuvajoukko on pelkän nollan sisältävä joukko. Toisaalta reaaliakselilta eli lukusuoralta itselleen olevan kuvauksen kuvajoukko on, paitsi nollakuvauksen tapauksessa, koko reaaliakseli. On helppoa näyttää, että lineaarikuvauksen kuva-avaruus on aina lineaariavaruus.

Vielä yksi käsite: Lineaarikuvauksen ydin on se lähtöavaruuden joukko, joka kuvautuu nollaksi. Joskus ytimessä on pelkkän nolla, joskus taas koko lähtöavaruus, joskus jotain niiden välistä. Myös ydin on aliavaruus (tämäkään ei ole hankalaa todeta).

Sitten dimensiolause: Se sanoo, että lineaarikuvauksen ytimen dimensio plus kuvajoukon dimensio on aina lähtöavaruuden dimensio. Lause, englanniksi theorem, tarkoittaa merkittävää tulosta.

Todistusta en muista tähän hätään, mutta tuloksen ymmärtämisestä voin jotain sanoa. Lähtöavaruudessa on jokin kiinnitetty määrä ulottuvuuksia, eli tietty dimensio. Osa näistä ulottuvuuksista voi upota nollaan; tällöin ne siis ovat ytimen ulottuvuuksia. Loput sitten virittävät aliavaruuden maaliavaruuteen, eli siis kuvajoukon. Tästä syystä dimensioiden summan täytyy täsmätä. Tässä oli suuri oivallukseni, joka on hyvinkin itsestäänselvä nyt, kun sen hoksaa. Näin aina.

Tuloksesta on useita seurauksia. Yksi helppo on, että kuvajoukon ulottuvuus on korkeintaan yhtä suuri kuin lähtöavaruuden ulottuvuus; tavallaan lineaarikuvaus voi menettää tietoa, mutta uutta se ei luo.

Humanisti luokittelee

Esiintymisvarmuudenkehittämiskurssilla saimme tutustua muutamaan millainen viestijä olet-teoriaan. Yksinkertaisemmassa vaihtoehdot olivat hyvä esiintyjä – huono esiintyjä -toisella tavalla huono esiintyjä. Vastaavan luokittelun muistan myös lukiopsykologiasta; oppimistyylis käsittivät kaksi huonoa, hyvän ja erikoisen ja luultavasti hyvän. Näiden luokittelujen tarkoitus on tietenkin näyttää, miten voi kehittää oppimistaan tai esiintymistään, ei vain lokeroida väkeä. Ei enempää niistä tällä kertaa.

Toinen kurssilla vastaan tullut luokittelu koski viestimistyylejä. Siellä oli dominoivaa, väittelevää, avointa, huomioivaa ja muita.  Vastaavia teorioita, joiden ainoa tarkoitus on luokitella jotain käytöstä tai ilmiötä, löytyy muualtakin. Roolipeliteorian puolella on ns. threefold model (GDS) ja yhteiskuntafilosofiassa oli puhetta individualistisista, kommunitaristisista, partikularistisista sekä foundationalistisista yhteiskuntateorioista. Yleistän aiheeni koskemaan muitakin humanistiluokitteluja, jotka määritän seuraavasti: Jostain ilmiöstä havaitaan useita eri puolia (tai ulottuvuuksia) ja nimetään niitä. Ilmiön pitää vielä olla epämääräinen tai (sumean logiikan mielessä) sumea.

Humanistit sanovat, että heidän luokituksensa luokittelee jotain. Väitän, että heidän luokituksensa enemmänkin erittelee piirteitä jostain. Oppimisen tai esiintymisen tapauksessa luokittelu kertoo toisistaan erotettavissa olevia taitoja tai tapoja. Ilmiötä ei luokitella, sitä eritellään. Tämän eron tekee sotkuisemmaksi se, että usein äärimmäinen piirre sulkee toiset äärimmäisyydet pois, joten koko homma voi näyttää hieman luokituksilta.

Lienee reilua kertoa, miten matemaatikot luokittelevat asioita, jotta ero tulee selvemmäksi. Luonnontieteilijät puhukoot omasta puolestaan. Kerron taustaksi hieman funktioista. Funktio on (tämän kirjoituksen vaatimassa laajuudessa) matemaattinen olio, joka syö yhden luvun ja sylkee ulos toisen, mutta kuitenkin niin, että aina kun sille syötetään sama luku on tulos sama. Funktioita merkitään , mikä tarkoittaa, että funktio f syö luvun x ja sylkee ulos luvun y. Esimerkiksi , missä funktio ottaa luvun ja lisää siihen kaksi (tässä ).

Matemaatikot tykkäävät kovasti funktioista ja niiden luokitelusta. Sanotaan, että funktio on kasvava jos sille syötetyn luvun kasvattaminen ei pienennä ulos syljettyä lukua; se siis voi kasvaa tai pysyä samana. Aidosti kasvavan funktion tapauksessa syötetyn luvun kasvattaminen aina kasvattaa myös ulos syljettävää lukua. Vähenevyys ja aito vähenevyys toimivat vastaavasti, mutta syötetyn luvun kasvattaminen tuppaa pienentämään tulosta. Otan vielä yhden käsitteen käyttöön: Funktio on vakio, jos se sylkee ulos aina saman luvun riippumatta siitä, mitä sille syöttää. Esimerkiksi on vakiofunktio, joka antaa aina kakkosen. Aina kaksi.

Yllä on siis annettu kasa piirteitä, joita funktioilla voi olla. Siinä missä humanisti olisi tyytyväinen, matemaatikko alkaa välittömästi miettimään josko näillä olisi jotain yhteyttä toisiinsa. Vaikkapa näin: Aidosti kasvava funktio on myös kasvava, sillä sille syötetyn luvun kasvattaminen kasvattaa myös sen ulos sylkemää lukua, joten se erityisesti ei vähene. Kasvava funktio puolestaan ei välttämättä ole aidosti kasvava, sillä esimerkiksi vakio on kasva funktio: Sille syötetyn luvun kasvaessa sen ulos sylkemä luku pysyy samana, joten erityisesti se ei pienene, joten vakio on kasvava; aidosti kasvava se ei ole, sillä ulosanti ei kasva syötetyn luvun kasvaessa. Vastaavat tulokset löytyvät väheneville funktioille.

Voiko funktio olla sekä kasvava että vähenevä? Voi toki, onhan vakiofunktio molempia. Löytyykö muita? Ei: Otetaan joku funktio, joka on sekä kasvava että vähenevä. Kasvatetaan sille syötettyä lukua; nyt sen ulos sylkemä luku ei voi kasvaa eikä kutistua, joten sen on pysyttävä samana, eli funktio on vakio. Vastaavasti on helppoa nähdä, että aidosti vähenevä funktio ei voi olla kasvava eikä aidosti kasvava. Vastaava tulos pätee aidosti kasvavalle funktiolle.

Tämän sivupolun jälkeen on hyvä kertoa, mihin lopulta pyrin. Humanisti erittelee jotain ilmiötä ymärtääkseen sen paremmin ja kenties miettiäkseen, vastaako erittely todellisuutta tai onko se hyödyllinen. Matemaatikko luokittelee ilmiötä ymmärtääksen sitä paremmin ja analysoidakseen, miten luokitukset suhtautuvat toisiinsa, jos siellä vaikka olisi kiinnostavaa rakennetta piilotettuna.

Nyt jätän lavan humanisteille, jotka voivat kertoa, miksi olen väärässä.