Dimensiolause

06/10/2009

Hieman matematiikka, vaihteeksi. Ensin hieman alkuhöpinöitä. Minulla ei ole hyvää kuvaa matemaattisen sisällön haastavuudesta ja esityksen laadusta, joten kertokaa ihmeessä, kuinka pitkälle pystytte sitä seuraamaan.

Olen sivutoimisena tuntiopettajan yliopistolla; tarkennettuna, pidän yhden matematiikan perusopintokurssin yhtä harjoitusryhmää. Harjoitusryhmät toimivat siten, että noin viikkoa etukäteen opiskelijoille jaetaan viidestä kymmeneen harjoitustehtävää, jotka ihmisten oletetaan tekevän kotona. Demotilaisuudessa sitten ihmiset laittavat rukseja lappuun, siten merkiten tekemänsä tehtävät. Niitä sitten taululle kirjoitellaan ja muille selitetään.

Minun roolini on päättää, kuka tekee mitäkin tehtäviä, tai tarkistetaanko niitä kenties ryhmässä, ja tarkastaa taululle tulevat tehtävät. Lisäksi niitä tulee selventää muille kurssilaisille. Välillä teen myös malliratkaisut kaikille harjoituksia pitäville, ja ilmeisesti myös tenttejä pääsen tarkistamaan jossain vaiheessa.

Viime maanantaina hoksasin jotain uutta ja hienoa dimensiolauseesta, joten ajattelin sen myös tänne kirjoitella.

Sitten hieman lineaarialgebraa, nimenomaan äärellisulotteisissa tilanteissa. Lineaarinen tarkoittaa suoraviivaista. Lineaarikuvaus, kirjaimena usein L, on kuvaus (eli funktio) yhdeltä lineaariavaruudelta toiselle. Lineaari- eli vektoriavaruus voi esimerkiksi olla lukusuora, taso tai kolmiulotteinen avaruus. Tässä rajoitun tarkistelemaan reaaliavaruuksia, jotka merkitään perinteisesti \mathbb{R}^n, missä n on ulottuvuus eli dimensio. Lukusuora on \mathbb{R} eli \mathbb{R}^1, taso on \mathbb{R}^2, kolmiulotteinen avaruus on \mathbb{R}^3. Tässä n siis on joku luonnollinen luku. Vektoriavaruuksissa on mielekästä laskea niiden alkioita eli vektoreita yhteen ja kertoa niitä reaaliluvuilla. Lisäksi vektoriavaruuksissa on aina yksikäsitteinen nolla-alkio, jota merkitään vain numerolla nolla. Surkastunut erikoistapaus lineaariavaruudesta on nolla-avaruus: Se sisältää pelkän nollan. Se on tylsä, mutta yksinkertaistaa asioita, joten se hyväksytään lineaariavaruudeksi. Tyhjää joukkoa yleensä ei hyväksytä, koskapa sille ei käyttöä olisi lainkaan ja se vaatisi erityishuomiota.

Kuvaus L: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m on lineaarinen, jos se toteuttaa kaksi ehtoa:

  1. Kaikilla reaaliluvuilla a ja kaikilla vektoreilla x \in \mathbb{R}^n pätee L(ax) = aL(x)
  2. Kaikilla vektoreilla x,y \in \mathbb{R}^n pätee L(x+y) = L(x) + L(y)

Laiskoina otuksina matemaatikot joskus jättävät sulut kirjoittamatta, koskapa lineaarikuvausten tapauksessa se ei aiheuta epäselvyyttä. Tätä tapaa en nyt ota käyttöön.

Ensimmäisestä ominaisuudesta yllä seuraa, että L(0) = 0L(x) = 0, missä x on mielivaltainen vektori; siis lineaarikuvaus kuvaa nollan aina nollaksi. Tästä utelias matemaatikko saa päähänsä kysyä: kuvaako jokin lineaarikuvaus muita lukuja nollaksi? Toinen kysymys koskee lineaarikuvausten injektiivisyyttä, eli kuvaavatko ne aina eriävät lähtöavaruuden alkiot eri alkioiksi maalipuolella? On helppoa (ensimmäisen vuoden matematiikan opiskelijalle helppoa) osoittaa, että lineaarikuvausten tapauksessa nämä kaksi kysymystä ovat yhtäpitäviä: kuvaus on injektio jos ja vain jos se kuvaa ainoastaan nollan nollaksi.

Toinen matemaatikoita kuvausten yhteydessä askarruttava asia on kuvauksen surjektiivisuus, jolla tarkoitamme sitä, osuuko kuvaus kaikkiin maalipuolen arvoihinsa. Surjektiivisuuden selvittäminen helposti ja siististi vaatii dimensiolauseen; käsin sen voi myös tehdä ihan määritelmän mukaan, mutta sen sivuutan tässä.

Lineaariavaruuksilla on dimensio, joka kertoo, kuinka suuria ne ovat. Aloitetaan tasosta: ajattele suorakulmion muotoista tasoa, esimerkiksi pöytää tai paperiarkkia. Kiinnitä siitä yksi piste nollaksi; vaikkapa kulma. Nyt, jos saat kulkea vain yhden pöydänsivun suuntaisesti (sekä eteen- että taaksepäin) ja aloitat nollasta, saavutat vain yhdellä suoralla olevat pisteet. Toisaalta, jos saat kulkea sekä pysty- että vaakasuoraan (tai pohjois-etelä- ja itä-länsi-suuntiin) ja yhdistellä näitä mielivaltaisesti, niin pääset mihin tahansa pöydän pisteeseen. Tämä pätee yleisesti: Jos tasolta ottaa kaksi suuntaa, eli kaksi pistettä (nollan kiinnittämisen takia jokainen siitä poikkeava piste määrää suunnan) jotka eivät kumpikaan ole nollia, niin nämä suunnat virittävät koko tason, kunhan eivät ole samalla suoralla eli samansuuntaisia (tai vastakkaissuuntaisia). Tästä syystä on perusteltua sanoa, että tason ulottuvuus on kaksi: tasan kaksi vektoria virittävät sen. Kolmiulotteisen avaruuden dimensio on yllättäen kolme: suunniksi voi valita esimerkiksi sivulle, eteen ja ylös. Yksiulotteisen avaruuden eli lukusuoran virittää yksi vektori. Nolla-avaruuden dimensioksi määritellään nolla, mikä vaikuttaa myös intuition mukaiselta. Voidaan osoittaa, että kaikki saman ulottuvuuden avaruudet ovat oleellisesti samanlaisia; tämä pätee vain äärellisulotteisille avaruuksille, enkä lainkaan muista todistuksen vaativuutta tai ideaa.

Pitänee tässä aliavaruuksistakin muutama sana sanoa. Tasolla kulkeva suora on tason yksiulotteinen aliavaruus, millä tarkoitetaan sitä, että se on itsessään aliavaruus, mutta sattuu olemaan upotettu tasoon. Aliavaruus on helppo käsite, eikä sen kanssa kannata hirveästi hikoilla. Kolmiulotteisen avaruuden sisässä oleva taso, esimerkiksi talon seinä, on ihan kelvollinen mielikuva aliavaruudesta. (Pitänee huomauttaa, että kaikki lineaariavaruudet jatkuvat äärettömän pitkälle kaikkiin suuntiin, joihin ne ylipäätänsä ulottuvat; aivan kuin lukujakin löytyy mielivaltaisen suuria. Esimerkit ovat äärellisiä johtuen fyysisen maailman rajoituksista, joita pahoittelen.)

Takaisin lineaarikuvauksiin. Niillä on aina joku lähtöavaruus ja joku maaliavaruus. Niiden välillä ei vielä ole mitään yhteyttä. Otetaan käyttöön uusi käsite: Kuva-avaruus. Se on aina maaliavaruuden aliavaruus ja voi joskus olla koko maaliavaruus (joka siis on oma aliavaruutensa; matemaattisen kielenkäytön ihmeitä). Äärimmäinen esimerkki on nollakuvaus, joka kuvaa koko lähtöavaruuden nollaksi. Tällöin kuvajoukko on pelkän nollan sisältävä joukko. Toisaalta reaaliakselilta eli lukusuoralta itselleen olevan kuvauksen kuvajoukko on, paitsi nollakuvauksen tapauksessa, koko reaaliakseli. On helppoa näyttää, että lineaarikuvauksen kuva-avaruus on aina lineaariavaruus.

Vielä yksi käsite: Lineaarikuvauksen ydin on se lähtöavaruuden joukko, joka kuvautuu nollaksi. Joskus ytimessä on pelkkän nolla, joskus taas koko lähtöavaruus, joskus jotain niiden välistä. Myös ydin on aliavaruus (tämäkään ei ole hankalaa todeta).

Sitten dimensiolause: Se sanoo, että lineaarikuvauksen ytimen dimensio plus kuvajoukon dimensio on aina lähtöavaruuden dimensio. Lause, englanniksi theorem, tarkoittaa merkittävää tulosta.

Todistusta en muista tähän hätään, mutta tuloksen ymmärtämisestä voin jotain sanoa. Lähtöavaruudessa on jokin kiinnitetty määrä ulottuvuuksia, eli tietty dimensio. Osa näistä ulottuvuuksista voi upota nollaan; tällöin ne siis ovat ytimen ulottuvuuksia. Loput sitten virittävät aliavaruuden maaliavaruuteen, eli siis kuvajoukon. Tästä syystä dimensioiden summan täytyy täsmätä. Tässä oli suuri oivallukseni, joka on hyvinkin itsestäänselvä nyt, kun sen hoksaa. Näin aina.

Tuloksesta on useita seurauksia. Yksi helppo on, että kuvajoukon ulottuvuus on korkeintaan yhtä suuri kuin lähtöavaruuden ulottuvuus; tavallaan lineaarikuvaus voi menettää tietoa, mutta uutta se ei luo.

Vastaa

Täytä tietosi alle tai klikkaa kuvaketta kirjautuaksesi sisään:

WordPress.com-logo

Olet kommentoimassa WordPress.com -tilin nimissä. Log Out / Muuta )

Twitter-kuva

Olet kommentoimassa Twitter -tilin nimissä. Log Out / Muuta )

Facebook-kuva

Olet kommentoimassa Facebook -tilin nimissä. Log Out / Muuta )

Google+ photo

Olet kommentoimassa Google+ -tilin nimissä. Log Out / Muuta )

Muodostetaan yhteyttä palveluun %s

%d bloggers like this: