Ensimmäinen esijulkaisu

Aiemmin tänä vuonna sain viimeisteltyä ensimmäisen esijulkaisuni, joka on luettavissa arXivista: http://arxiv.org/abs/1403.0428 . Lähetin sen myös erääseen tieteelliseen lehteen, jonka kautta se nyt on vertaisarvioitavana. Jos artikkeli hyväksytään, niin teen ehdotetut korjaukset ja se julkaistaan. Jos artikkelia ei hyväksytä, niin lähetän sen luultavasti korjattuna toiseen lehteen.

Artikkeli liittyy sähköimpedanssitomografian matemaattiseen teoriaan. Kysymys kuuluu seuraavasti: Jos meillä on jokin kappale, jonka sähkönjohtavuus haluttaisiin selvittää rikkomatta sitä, niin miten tämä mahtaisi onnistua? Johtavuuden selvittäminen olisi hyödyllinen esimerkiksi rintasyövän havaitsemisessa – syöpäkudos johtaa sähköä paremmin kuin terve kudos, koska siinä virtaa enemmän verta. Toinen sovellus mahdollistaa halkeamien ja metallisauvojen havaitsemisen betonimöykkyjen sisältä. Ongelman esitteli alunperin Alberto Calderón, joka halusi käyttää menetelmää öljyn etsimiseen maaperästä. Ongelma tunnetaan tästä syystä Calderónin ongelmana.

Calderónin ongelma on esimerkki käänteis- eli inversio-ongelmasta. Käänteisongelmassa tiedetään miten jokin fysikaalinen ilmiö toimii eli tunnetaan niin sanottu suora ongelma, joka kertoo sähkön käytöksen, kun tunnetaan kappaleen johtavuus. Tästä tiedosta ja tekemällä mittauksia halutaan selvittää tuntematon johtavuus. Mittaukset tehdään kappaleen reunalla ja kertovat potentiaalierot sekä sähkövirran suuruuden (toinen asetetaan, toinen mitataan).

Tutkin ongelman yleistystä, jossa sähkön käytöstä kuvataan epälineaarisella mallilla. Yleistyksen soveltuvuus on kyseenalaista ja kyseessä on enemmän perustutkimus, jonka voisi toivoa antavan uusia matemaattisia työkaluja alkuperäisen Calderónin ongelman tutkimiseen, kehittää teoriaa epälineaarisiin tapauksiin yleensä, tai jopa myöhemmin osoittautua soveltuvaksi itsessään.

Matemaattisesti ongelma muotoillaan parametrisoituna osittaisdifferentiaaliyhtälönä, josta reunamittauksia vastaavasta tiedosta yritetään päätellä parametrin arvo. Parametri vastaa sähkönjohtavuutta.

Olkoon siisti rajoitettu alue ja ulottuvuus d > 1. Tutkitaan johtavuusyhtälöä eli painotettua Laplace-yhtälöä

jossa on sähkönjohtavuus. Sen voi olettaa positiiviseksi ja sekä ylhäältä että alhaalta rajoitetuksi funktioksi.

Potentiaali- ja sähkövirtamittaukset vastaavat Dirichlet- ja Neumann-tyyppisiä reuna-arvoja. Toiset asetetaan ja toiset saadaan selville. Tämän voi kuvata esimerkiksi DN-kuvauksella (Dirichlet to Neumann map), joka kuvaa annetut Dirichlet-reuna-arvot Neumann-arvoiksi. Kysymys kuuluu, että voidaanko johtavuus esittää DN-kuvauksen avulla.

Tutkin tämän kysymyksen yleistystä p-Laplace-yhtälölle:
.
Kun p = 2, palautuu p-Laplace-yhtälö tavalliseen Laplace-yhtälöön. Potenssi p valitaan avoimelta väliltä – rajatapaukset 1 ja ovat luonteeltaan hyvin erilaisia. Yhtälön käytös on vähemmän mukavaa kuin tavallisen Laplace-yhtälön – se on vain kerran jatkuvasti derivoituva (ja derivaatta on Hölder-jatkuva), jos johtavuuden säännöllisyys tämän sallii, kun Laplace-yhtälön ratkaisut ovat analyyttisia (johtavuuden salliessa). Yhtälö ei ole lineaarinen, mikä aiheuttaa useita ongelmia, ja ratkaisut asuvat luonnostaan refleksiivisessä Banach-avaruudessa , eivätkä Hilbertin avaruudessa kuten Laplace-yhtälön ratkaisut.

Mikko Salo (joka ohjaa väitöstyötäni) ja Xiao Zhong (joka ohjasi graduni) todistivat aiemmin, että p-Laplace-tilanteessa johtavuuden arvot alueen reunalla saadaan määritettyä DN-kuvauksesta. Minä laajensin heidän tulostaan näyttämällä, että myös johtavuuden ensimmäinen derivaatta saadaan selville. Sekä Mikon ja Xiaon että minun tulokseni ovat konstruktiivisia, eli tulokset olisi mahdollista toteuttaa tietokoneella, ja käyttävät vain paikallista tietoa, eli johtavuus reunapisteen lähellä saadaan selville käyttämällä tietoa vain mielivaltaisen läheltä kyseistä reunapistettä.

Jos kaikki derivaatat reunalla saadaan selville, niin analyyttinen johtavuus saadaan selvitettyä myös alueen sisuksessa. Vähemmän säännöllisen johtavuuden selvittäminen vaatisi huomattavasti vaativampia tekniikoita, jos se on edes mahdollista.