Lectio praecursoria

24/04/2016

Arvoisa kustos, kunnioitettu vastaväittäjä, hyvät kuulijat.

Lektiossa käsittelen käänteisongelmia ja erityisesti sähköimpedanssitomografiaa. Tätä varten kuvailen ensin mikä on suora ongelma ja mikä on käänteis- eli inversio-ongelma. Suorassa ongelmassa kappaleen tai ilmiön rakenne tunnetaan. Rakenteesta yritetään päätellä kappaleen käytös joissain olosuhteissa. Käänteisongelmassa havaitaan kappaleen käytös tietyissä olosuhteissa. Käytöksestä yritetään päätellä kappaleen rakennetta. Käyn läpi esimerkkejä asian selventämiseksi.

Röntgen-kuvaa varten ihmisen läpi lähetetään säteilyä, josta osa imeytyy kudoksiin ja loppu pääsee läpi mitattavaksi. Kudokset, joiden läpi säteily kulkee, määrittävät säteilyn vaimenemisen. Röntgenkuvantamiseen liittyvä suora ongelma on laskea, kuinka paljon säteilyä läpäisee ihmisen missäkin kohdassa.

Röntgenkuvantamiseen liittyvässä käänteisongelmassa tiedämme, kuinka suuri osa säteilystä on läpäissyt kehon missäkin kohdassa. Tästä haluamme selvittää, mitä kudoksia on ollut säteilyn matkalla. Koska luukudos imee säteilyä runsaasti ja rasvakudos sekä keuhkot vain vähän, voi kehon koostumuksen selvittää; näin tehdään DXA-tutkimuksissa.

Väitöskirja käsittelee Calderónin ongelmaa. Calderónin ongelma on yksinkertaistava matemaattinen malli sähköimpedanssitomografialle, tai vastaavalle lämpöön perustuvalle kuvantamiselle. Lämpötila on konkreettisempi, joten aloitan siitä.

Lämpimässä saunassa sekä puisten lauteiden että teräksisten naulojen lämpötila on sama. Teräs kuitenkin johtaa lämpöä huomattavasti paremmin kuin puu ja naula nopeammin kuin laude. Siksi naula tuntuu laudetta kuumemmalta. Täten on mahdollista saada selville jotain kappaleen johtavuudesta tutkimalla lämmön virtausta kappaleen pinnalla. Käänteisongelmien tutkimuksessa tuloksia, joissa selvitetään kappaleen pinnan johtavuus, kutsutaan reunamääritystuloksiksi. Tässä nimenomaisessa esimerkissä myös johtavuus pintaa syvemmällä vaikuttaa tulokseen.

Kuvittele käteesi metallinen juomapullo. Onko kyseessä termospullo vai aivan tavallinen metallista tehty pullo? Metalli johtaa lämpöä hyvin. Termospullossa on metallikerrosten välissä tyhjiö, joka ei johda lämpöä, eli toimii eristeenä. Täytä pullo kuumalla vedellä. Jos pullon ulkopinta lämpenee nopeasti, on kyseessä tavallinen pullo. Jos ulkopinta ei pian lämpene, on kyseessä termospullo. Näin havaitset eristeen pullon sisällä rikkomatta pulloa. Ympäröivää ainetta huomattavasti pienemmän tai suuremman johtavuuden aluetta kutsutaan sisältymäksi. Sisältymien havaitseminen ja kuvaileminen on osa käänteisongelmien tutkimusta.

Abstraktimmin: Suora ongelma on laskea, miten lämpötila vaihtelee kappaleen sisällä, kun lämpötila ulkopinnalla tiedetään ja lämmönjohtavuus kappaleen sisällä tunnetaan. Matemaattisessa ongelmassa tutkitaan tilannetta, jossa lämpötila kappaleen sisällä on ehtinyt tasaantua, eikä siis muutu ajan myötä. Calderónin käänteisongelma on selvittää kappaleen sisäinen lämmönjohtavuus. Tiedot, joiden perusteella se tulisi selvittää, ovat kappaleen pintalämpötilat ja niihin liittyvät lämmön johtumiset. Tarkemmin sanottuna, nopeus jolla lämpö johtuu pois kappaleesta tai sisään kappaleeseen tunnetaan. Kappaleen sisällä tapahtuvaa lämmön johtumista ei saada etukäteen tietää.

Calderónin ongelmassa oletetaan, että kaikki mahdolliset reunalämpötilat ja niihin liittyvät lämmön johtumisnopeudet tiedetään. Käytännössä tämä on ilmeisen mahdotonta ja joudutaan tyytymään äärelliseen määrään mittauksia.

Sama matemaattinen malli kuvaa sekä sähkön että lämmön virtausta tilanteessa, jossa jännitteen tai lämpötilan jakauma ei muutu ajan myötä. Tällöin lämpötila ja jännite vastaavat toisiaan, samoin kuin sähkövirta ja lämpövirta. Lämpövirta kuvaa lämmön johtumista.

Sähköimpedanssitomografia yrittää selvittää kappaleen sähkönjohtavuutta mittaamalla jännitettä ja sähkövirtaa kappaleen ulkopinnoilta.

Alberto Pedro Calderón, jonka mukaan Calderónin ongelma on nimetty, työskenteli öljy-yhtiössä, jonka palveluksesta hän siirtyi matematiikan tutkimiseen. Calderónin ensimmäinen ja ainoa käänteisongelmia koskeva artikkeli sai inspiraationsa öljyn etsimisestä sähköisin mittauksin. Vettä — kuten vuotavia kohtia putkistoissa — voi etsiä vastaavin menetelmin.

Muina esimerkkeinä lääketieteen ulkopuolelta mainitsen maamiinojen havaitsemisen ja betonirakenteiden tutkimisen.

Miinan metallikuori johtaa sähköä paljon paremmin kuin maa yleensä. Kostea betoni johtaa hiukan sähköä, kun taas betonia vahvistavat rautatangot johtavat sitä hyvin ja halkeamat betonissa eivät lainkaan. Tämä mahdollistaa betonirakenteiden eheyden tarkistamisen särkemättä rakennetta. Jos betonin päällystää ohuella kerroksella sähköä johtavaa maalia, niin pienikin murtuma vaurioittaa maalikerrosta. Vaurio näkyy helposti sähköisissä mittauksissa.

Lääketieteellisessä kuvantamisessa sähköimpedanssitomografiaa käytetään rintasyövän etsimiseen ja keuhkojen tarkkailuun. Syöpäkudos kasvattaa itseensä runsaasti verisuonia ja runsas verimäärä aiheuttaa kudoksen sähkönjohtavuuden kasvun. Keuhkot täyttävä ilma puolestaan ei johda hyvin sähköä, joten hengitys ja häiriöt keuhkojen toiminnassa voi havaita.

Vertailen seuraavaksi sähköimpedanssitomografiaa ja röntgenkuvantamista keskenään. Röntgenkuvantamisella on pitkä historia ja sen taustalla oleva matematiikka on hyvin tunnettua. Ongelma on matemaattisesti helpompi kuin impedanssitomografiassa. Röntgenin avulla voi piirtää tarkkarajaisia kuvia. Impedanssitomografialla piirretyt kuvat eivät ole tarkkarajaisia, mutta johtavuuserot erottuvat niissä selvästi. Tärkeämpää on kuitenkin röntgenkuvauksessa käytetty radioaktiivinen eli ionisoiva säteily. Ionisoivalle säteilylle altistuminen nostaa syövän riskiä. Syöpäpotilasta seuratessa syöpäkasvaimen rohkaiseminen aina, kun syövän tilannetta tarkkaillaan, on erityisen ikävää.

Impedanssitomografia ei käytä ionisoivaa säteilyä, eikä siis kasvata syöpäriskiä. Tutkimusten mukaan rintasyövän seulonnassa impedanssitomografian käyttö yhdessä muiden menetelmien kanssa on tuottanut hyviä tuloksia ja pelkkä impedanssitomografia on myös toiminut kohtuullisesti.

Ennen kuin kerron omasta tutkimuksestani, mainitsen Ohmin lain, joka saattaa olla tuttu koulufysiikasta. Ajattele kuparilangan pätkää. Jos laitat sen osaksi sähköpiiriä ja langan päiden välillä on jännite-ero, niin sähkövirta kulkee langan läpi. Sähkövirran suuruus ja jännite ovat suoraan verrannolliset eli riippuvat toisistaan lineaarisesti – jos toisen kaksinkertaistaa, niin myös toinen kaksinkertaistuu. Sähkövirran suuruuden ja jännitteen suhde on langan sähkönjohtavuus eli resistanssin, vastuksen, käänteisluku. Jännitteen, virran ja johtavuuden välistä suhdetta kutsutaan Ohmin laiksi. Ohmin laki on likimääräinen kuvaus luonnon toiminnasta, eikä päde kaikissa olosuhteissa.

Väitöskirjassani tutkin Ohmin lain sijasta potenssilakia vastaavaa matemaattista mallia. Ohmin lain mukaan jännite-ero ja virta kytkeytyvät lineaarisesti, mikä vastaa potenssia yksi. Potenssilakitilanteessa potenssi voi olla muukin positiivinen luku kuin yksi. Väitöskirjan otsikossa esiintyvä p liittyy materiaalin noudattamaan potenssilakiin.

Potenssilaki on esimerkki epälineaarisesta suhteesta. Lineaariset ongelmat ovat matematiikassa helpompia kuin epälineaariset samasta syystä kuin banaanikärpäsen tutkiminen on helpompaa kuin kaikkien elävien olentojen tutkiminen. Tässä analogiassa potenssilakia noudattavat materiaalit vastaavat kärpästen alalahkoa – potenssilait kattavat suuremman kirjon materiaaleja kuin pelkät lineaariset suhteet, mutta maailma on vielä paljon laajempi.

Materiaaleja, jotka noudattavat potenssilakiversiota Ohmin laista, käytetään esimerkiksi varistoreissa. Varistorin sähkönjohtavuus ja vastus riippuvat jännitteestä. Varistoreita käytetään ainakin ylijännitesuojissa. Ei ole selvää, haluaako kukaan kuvantaa varistoria tai muuta potenssilain mukaan käyttäytyvää materiaalia sähköisin mittauksin, joten väitöskirja on matemaattista perustutkimusta.

Matemaattisena mallina potenssilaki on kuitenkin luonnollinen yleistys tavalliselle Ohmin laille. Potenssilakia noudattavien materiaalien tutkimus antaa tietoa menetelmistä, jotka saattavat toimia myös muissa epälineaarisissa tilanteissa.

Tutkimuksen tulokset koskevat suoraa ongelmaa, reunamääritystä ja sisältymiä. Suorana ongelmana tutkin tapausta, jossa kappaleen sisällä on eristäviä ja täydellisesti johtavia sisältymiä. Esimerkkinä on tyhjiökerros termospullossa tai rautatanko hiukan kostessa betonissa. Raudan johtavuus on niin paljon suurempi kuin ympäröivän aineen, että sen käsittely äärettömänä ei luultavasti aiheuta merkittävää virhettä. Käy ilmi, että suora ongelma on järkevä tällaisissa tilanteissa.

Reunamääritys vastaa karkeasti saunassa naulan tai puun koskemista. Aiemmin professorit Mikko Salo ja Xiao Zhong olivat antaneet reunamääritystuloksen, jonka mukaan potenssilakitilanteessa saadaan selville johtavuus kappaleen pinnalla. Väitöskirja kertoo, miten myös johtavuuden derivaatta saadaan selville kappaleen pinnalla. Derivaatta kertoo johtavuuden muutoksesta, kun siirrytään hiukan sisemmäs kappaleeseen. Tulos ei kuitenkaan riitä kappaleen sisäosien johtavuuden määrittämiseen.

Sisältymä tarkoittaa kappaleen osaa, jossa johtavuus on huomattavasti suurempi tai pienempi kuin ympäröivässä aineessa. Jos sisältymän johtavuus on sopiva, eli pysyy kaukana nollasta ja äärettömästä, eristeestä ja suprajohteesta, niin sisältymä paikannetaan ja sen karkea koko saadaan myös selville.

Jos sisältymän johtavuus on joko nolla tai ääretön, eli sisältymä on eriste tai täydellisen johtava, niin saadaan selville, onko sisältymää. Lisäksi sisältymälle saadaan yläraja eli sisältymää suurempi alue löydetään, mutta tarkkuudesta ei ole takeita.

Vastaa

Täytä tietosi alle tai klikkaa kuvaketta kirjautuaksesi sisään:

WordPress.com-logo

Olet kommentoimassa WordPress.com -tilin nimissä. Log Out / Muuta )

Twitter-kuva

Olet kommentoimassa Twitter -tilin nimissä. Log Out / Muuta )

Facebook-kuva

Olet kommentoimassa Facebook -tilin nimissä. Log Out / Muuta )

Google+ photo

Olet kommentoimassa Google+ -tilin nimissä. Log Out / Muuta )

Muodostetaan yhteyttä palveluun %s

%d bloggers like this: