Lectio praecursoria

24/04/2016

Arvoisa kustos, kunnioitettu vastaväittäjä, hyvät kuulijat.

Lektiossa käsittelen käänteisongelmia ja erityisesti sähköimpedanssitomografiaa. Tätä varten kuvailen ensin mikä on suora ongelma ja mikä on käänteis- eli inversio-ongelma. Suorassa ongelmassa kappaleen tai ilmiön rakenne tunnetaan. Rakenteesta yritetään päätellä kappaleen käytös joissain olosuhteissa. Käänteisongelmassa havaitaan kappaleen käytös tietyissä olosuhteissa. Käytöksestä yritetään päätellä kappaleen rakennetta. Käyn läpi esimerkkejä asian selventämiseksi.

Röntgen-kuvaa varten ihmisen läpi lähetetään säteilyä, josta osa imeytyy kudoksiin ja loppu pääsee läpi mitattavaksi. Kudokset, joiden läpi säteily kulkee, määrittävät säteilyn vaimenemisen. Röntgenkuvantamiseen liittyvä suora ongelma on laskea, kuinka paljon säteilyä läpäisee ihmisen missäkin kohdassa.

Röntgenkuvantamiseen liittyvässä käänteisongelmassa tiedämme, kuinka suuri osa säteilystä on läpäissyt kehon missäkin kohdassa. Tästä haluamme selvittää, mitä kudoksia on ollut säteilyn matkalla. Koska luukudos imee säteilyä runsaasti ja rasvakudos sekä keuhkot vain vähän, voi kehon koostumuksen selvittää; näin tehdään DXA-tutkimuksissa.

Väitöskirja käsittelee Calderónin ongelmaa. Calderónin ongelma on yksinkertaistava matemaattinen malli sähköimpedanssitomografialle, tai vastaavalle lämpöön perustuvalle kuvantamiselle. Lämpötila on konkreettisempi, joten aloitan siitä.

Lämpimässä saunassa sekä puisten lauteiden että teräksisten naulojen lämpötila on sama. Teräs kuitenkin johtaa lämpöä huomattavasti paremmin kuin puu ja naula nopeammin kuin laude. Siksi naula tuntuu laudetta kuumemmalta. Täten on mahdollista saada selville jotain kappaleen johtavuudesta tutkimalla lämmön virtausta kappaleen pinnalla. Käänteisongelmien tutkimuksessa tuloksia, joissa selvitetään kappaleen pinnan johtavuus, kutsutaan reunamääritystuloksiksi. Tässä nimenomaisessa esimerkissä myös johtavuus pintaa syvemmällä vaikuttaa tulokseen.

Kuvittele käteesi metallinen juomapullo. Onko kyseessä termospullo vai aivan tavallinen metallista tehty pullo? Metalli johtaa lämpöä hyvin. Termospullossa on metallikerrosten välissä tyhjiö, joka ei johda lämpöä, eli toimii eristeenä. Täytä pullo kuumalla vedellä. Jos pullon ulkopinta lämpenee nopeasti, on kyseessä tavallinen pullo. Jos ulkopinta ei pian lämpene, on kyseessä termospullo. Näin havaitset eristeen pullon sisällä rikkomatta pulloa. Ympäröivää ainetta huomattavasti pienemmän tai suuremman johtavuuden aluetta kutsutaan sisältymäksi. Sisältymien havaitseminen ja kuvaileminen on osa käänteisongelmien tutkimusta.

Abstraktimmin: Suora ongelma on laskea, miten lämpötila vaihtelee kappaleen sisällä, kun lämpötila ulkopinnalla tiedetään ja lämmönjohtavuus kappaleen sisällä tunnetaan. Matemaattisessa ongelmassa tutkitaan tilannetta, jossa lämpötila kappaleen sisällä on ehtinyt tasaantua, eikä siis muutu ajan myötä. Calderónin käänteisongelma on selvittää kappaleen sisäinen lämmönjohtavuus. Tiedot, joiden perusteella se tulisi selvittää, ovat kappaleen pintalämpötilat ja niihin liittyvät lämmön johtumiset. Tarkemmin sanottuna, nopeus jolla lämpö johtuu pois kappaleesta tai sisään kappaleeseen tunnetaan. Kappaleen sisällä tapahtuvaa lämmön johtumista ei saada etukäteen tietää.

Calderónin ongelmassa oletetaan, että kaikki mahdolliset reunalämpötilat ja niihin liittyvät lämmön johtumisnopeudet tiedetään. Käytännössä tämä on ilmeisen mahdotonta ja joudutaan tyytymään äärelliseen määrään mittauksia.

Sama matemaattinen malli kuvaa sekä sähkön että lämmön virtausta tilanteessa, jossa jännitteen tai lämpötilan jakauma ei muutu ajan myötä. Tällöin lämpötila ja jännite vastaavat toisiaan, samoin kuin sähkövirta ja lämpövirta. Lämpövirta kuvaa lämmön johtumista.

Sähköimpedanssitomografia yrittää selvittää kappaleen sähkönjohtavuutta mittaamalla jännitettä ja sähkövirtaa kappaleen ulkopinnoilta.

Alberto Pedro Calderón, jonka mukaan Calderónin ongelma on nimetty, työskenteli öljy-yhtiössä, jonka palveluksesta hän siirtyi matematiikan tutkimiseen. Calderónin ensimmäinen ja ainoa käänteisongelmia koskeva artikkeli sai inspiraationsa öljyn etsimisestä sähköisin mittauksin. Vettä — kuten vuotavia kohtia putkistoissa — voi etsiä vastaavin menetelmin.

Muina esimerkkeinä lääketieteen ulkopuolelta mainitsen maamiinojen havaitsemisen ja betonirakenteiden tutkimisen.

Miinan metallikuori johtaa sähköä paljon paremmin kuin maa yleensä. Kostea betoni johtaa hiukan sähköä, kun taas betonia vahvistavat rautatangot johtavat sitä hyvin ja halkeamat betonissa eivät lainkaan. Tämä mahdollistaa betonirakenteiden eheyden tarkistamisen särkemättä rakennetta. Jos betonin päällystää ohuella kerroksella sähköä johtavaa maalia, niin pienikin murtuma vaurioittaa maalikerrosta. Vaurio näkyy helposti sähköisissä mittauksissa.

Lääketieteellisessä kuvantamisessa sähköimpedanssitomografiaa käytetään rintasyövän etsimiseen ja keuhkojen tarkkailuun. Syöpäkudos kasvattaa itseensä runsaasti verisuonia ja runsas verimäärä aiheuttaa kudoksen sähkönjohtavuuden kasvun. Keuhkot täyttävä ilma puolestaan ei johda hyvin sähköä, joten hengitys ja häiriöt keuhkojen toiminnassa voi havaita.

Vertailen seuraavaksi sähköimpedanssitomografiaa ja röntgenkuvantamista keskenään. Röntgenkuvantamisella on pitkä historia ja sen taustalla oleva matematiikka on hyvin tunnettua. Ongelma on matemaattisesti helpompi kuin impedanssitomografiassa. Röntgenin avulla voi piirtää tarkkarajaisia kuvia. Impedanssitomografialla piirretyt kuvat eivät ole tarkkarajaisia, mutta johtavuuserot erottuvat niissä selvästi. Tärkeämpää on kuitenkin röntgenkuvauksessa käytetty radioaktiivinen eli ionisoiva säteily. Ionisoivalle säteilylle altistuminen nostaa syövän riskiä. Syöpäpotilasta seuratessa syöpäkasvaimen rohkaiseminen aina, kun syövän tilannetta tarkkaillaan, on erityisen ikävää.

Impedanssitomografia ei käytä ionisoivaa säteilyä, eikä siis kasvata syöpäriskiä. Tutkimusten mukaan rintasyövän seulonnassa impedanssitomografian käyttö yhdessä muiden menetelmien kanssa on tuottanut hyviä tuloksia ja pelkkä impedanssitomografia on myös toiminut kohtuullisesti.

Ennen kuin kerron omasta tutkimuksestani, mainitsen Ohmin lain, joka saattaa olla tuttu koulufysiikasta. Ajattele kuparilangan pätkää. Jos laitat sen osaksi sähköpiiriä ja langan päiden välillä on jännite-ero, niin sähkövirta kulkee langan läpi. Sähkövirran suuruus ja jännite ovat suoraan verrannolliset eli riippuvat toisistaan lineaarisesti – jos toisen kaksinkertaistaa, niin myös toinen kaksinkertaistuu. Sähkövirran suuruuden ja jännitteen suhde on langan sähkönjohtavuus eli resistanssin, vastuksen, käänteisluku. Jännitteen, virran ja johtavuuden välistä suhdetta kutsutaan Ohmin laiksi. Ohmin laki on likimääräinen kuvaus luonnon toiminnasta, eikä päde kaikissa olosuhteissa.

Väitöskirjassani tutkin Ohmin lain sijasta potenssilakia vastaavaa matemaattista mallia. Ohmin lain mukaan jännite-ero ja virta kytkeytyvät lineaarisesti, mikä vastaa potenssia yksi. Potenssilakitilanteessa potenssi voi olla muukin positiivinen luku kuin yksi. Väitöskirjan otsikossa esiintyvä p liittyy materiaalin noudattamaan potenssilakiin.

Potenssilaki on esimerkki epälineaarisesta suhteesta. Lineaariset ongelmat ovat matematiikassa helpompia kuin epälineaariset samasta syystä kuin banaanikärpäsen tutkiminen on helpompaa kuin kaikkien elävien olentojen tutkiminen. Tässä analogiassa potenssilakia noudattavat materiaalit vastaavat kärpästen alalahkoa – potenssilait kattavat suuremman kirjon materiaaleja kuin pelkät lineaariset suhteet, mutta maailma on vielä paljon laajempi.

Materiaaleja, jotka noudattavat potenssilakiversiota Ohmin laista, käytetään esimerkiksi varistoreissa. Varistorin sähkönjohtavuus ja vastus riippuvat jännitteestä. Varistoreita käytetään ainakin ylijännitesuojissa. Ei ole selvää, haluaako kukaan kuvantaa varistoria tai muuta potenssilain mukaan käyttäytyvää materiaalia sähköisin mittauksin, joten väitöskirja on matemaattista perustutkimusta.

Matemaattisena mallina potenssilaki on kuitenkin luonnollinen yleistys tavalliselle Ohmin laille. Potenssilakia noudattavien materiaalien tutkimus antaa tietoa menetelmistä, jotka saattavat toimia myös muissa epälineaarisissa tilanteissa.

Tutkimuksen tulokset koskevat suoraa ongelmaa, reunamääritystä ja sisältymiä. Suorana ongelmana tutkin tapausta, jossa kappaleen sisällä on eristäviä ja täydellisesti johtavia sisältymiä. Esimerkkinä on tyhjiökerros termospullossa tai rautatanko hiukan kostessa betonissa. Raudan johtavuus on niin paljon suurempi kuin ympäröivän aineen, että sen käsittely äärettömänä ei luultavasti aiheuta merkittävää virhettä. Käy ilmi, että suora ongelma on järkevä tällaisissa tilanteissa.

Reunamääritys vastaa karkeasti saunassa naulan tai puun koskemista. Aiemmin professorit Mikko Salo ja Xiao Zhong olivat antaneet reunamääritystuloksen, jonka mukaan potenssilakitilanteessa saadaan selville johtavuus kappaleen pinnalla. Väitöskirja kertoo, miten myös johtavuuden derivaatta saadaan selville kappaleen pinnalla. Derivaatta kertoo johtavuuden muutoksesta, kun siirrytään hiukan sisemmäs kappaleeseen. Tulos ei kuitenkaan riitä kappaleen sisäosien johtavuuden määrittämiseen.

Sisältymä tarkoittaa kappaleen osaa, jossa johtavuus on huomattavasti suurempi tai pienempi kuin ympäröivässä aineessa. Jos sisältymän johtavuus on sopiva, eli pysyy kaukana nollasta ja äärettömästä, eristeestä ja suprajohteesta, niin sisältymä paikannetaan ja sen karkea koko saadaan myös selville.

Jos sisältymän johtavuus on joko nolla tai ääretön, eli sisältymä on eriste tai täydellisen johtava, niin saadaan selville, onko sisältymää. Lisäksi sisältymälle saadaan yläraja eli sisältymää suurempi alue löydetään, mutta tarkkuudesta ei ole takeita.

Toinen esijulkaisuni, joka on kirjoitettu yhteistyössä väitöstyön ohjaajani Mikko Salon sekä Manas Karin kanssa, löytyy arXivista osoitteesta http://arxiv.org/abs/1410.4048 . Manas on post doc -tutkija Jyväskylässä, eli kankeasti suomennettuna väitöskirjan jälkeisiä jatkotutkintoja suorittamassa.

Toinen artikkeli käsittelee suurinpiirtein samaa aihetta kuin ensimmäinen, mutta tulokset ovat varsin erilaisia. Kirjoitan ongelmasta kohtalaisen yleistajuisesti. Viimeksi mukana oli aavistus ongelman historiaa ja matemaattisempaa selitystä, joten en toista niitä tällä kertaa. Tämän tuloksen matemaattinen esitys löytyy arXivista.

Oletetaan, että meillä on sähköä (tai lämpöä; matemaattinen malli on sama) johtava kappale, jonka sisäistä rakennetta halutaan tutkia. Sähköimpedanssitomografian avulla voidaan esimerkiksi yrittää löytää syöpäkasvaimia, koska ne johtavat sähköä ympäröivää kudosta tehokkaammin, koska niisä on tehostunut verenkierto. Tutkittavan kappaleen ympärille asetetaan elektrodeja, joiden avulla asetetaan jännite-eroja. Jännite-erojen aiheuttama virta mitataan. Tästä tiedosta pyritään selvittämään kappaleen (sähkön) johtavuus. Vastaavasti asettamalla lämpötila kappaleen reunoilla ja mittaamalla lämmön johtumista kappaleeseen ja kappaleesta saadaan samanlaista dataa.

Jännite-erojen aiheuttaman virran mittaus vastaa jännitejakauman ylläpidon vaatimaa tehoa, eli käytännössä asetelmassa mitataan jännite-erojen ylläpidon vaatimaa tehoa. Ajatellaan kahta kappaletta, joista toinen on vakiojohtavuuksinen – yksiköt sopivasti valitsemalla voidaan olettaa johtavuuden olevan yksi kaikkialla kappaleessa. Ajatellaan, että toinen kappale sisältää inkluusion, eli alueen, jossa johtavuus on joko huomattavasti suurempi tai huomattavasti pienempi kuin ympäristössä – voisi esimerkiksi olla, että inkluusion johtavuus vaihtelee kahdesta kymmeneen, tai kuudesosasta kolmasosaan. Keskityn tässä tilanteeseen, jossa inkluusion johtavuus on suurempi kuin ympäristön. Pienemmän johtavuuden tilanne toimii vastaavasti.

Suurempi johtavuus tarkoittaa järjestelmän vaativan enemmän energiaa. Tilanne on helpompi ajatella lämmön kautta. Ajatellaan, että joku haluaisi samaan tilaan sekä lämpimän että kylmän alueen – vaikkapa +10 astetta ja +30 astetta. Jos nämä haluaisi samaan teollisuushalliin, ei ongelmaa olisi – patterit kovemmalle toisessa päässä kuin toisessa. Jos haluaisi vastaavan eron olohuoneeseen, niin työtä pitäisi tehdä paljon enemmän, koska matka kuuman ja kylmän alueen välillä olisi lyhempi. Alueiden tuominen aivan vierekkäin vaatii erittäin suuret määrät työtä, koska lämmin ilma sekoittuisi välittömästi kylmän kanssa. Suuri johtavuus vastaa etäisyyksien lyhentämistä, koska lämpö pääsee liikkumaan nopeammin ja tasoittamaan eroja nopeammin.

Jos vertaamme vakiojohtavuuksista kappaletta ja samankokoista ja -muotoista kappletta, jossa on suuren johtavuuden alue, niin saman reunajännitejakauman ylläpito vaatii korkeajohtavuuksisen alueen tilanteessa enemmän tehoa. Tämä ero on mahdollista havaita käytetyillä mittausmenetelmillä. Menetelmässä asetetaan jännitteet siten, että osaan alueesta keskittyy paljon jännite-eroja ja siten virtaa, ja toiseen osaan erittäin vähän eroja ja virtaa. Jos korkeajohtavuuksinen alue osuu suurten jännite-erojen puolelle, niin huomataan, että jännitteiden ylläpitäminen vaatii huomattavasti oletettua enemmän tehoa, ja jos inkluusio on kokonaan matalien erojen puolella, saadaan oletetun kaltaisia tuloksia. Täten saadaan tietoa korkeajännitteisen alueen sijainnista.

Koska tutkimme johtavuusyhtälön epälineaarista versiota (epälineaarinen tarkoittaa, että suureiden väliset verrannollisuudet ovat monimutkaisempia kuin suora tai käänteinen verrannollisuus), eli niin sanottua p-Laplace -yhtälöä, on sopivia jännitejakaumia hankala keksiä. Pystymme asettamaan jännitteen ainoastaan niin, että jonkun suoran (2-ulotteisessa tilanteessa) tai tason (3-ulotteisessa tilanteessa; yleisemmin hypertason) toisella puolella on suuria jännite-eroja ja toisella puolella pieniä. Lineaarisessa tapauksessa pystytään luomaan myös pallonmuotoisia alueita, joissa on suuret jännite-erot, mikä johtaa parempiin kuvantamistuloksiin. Rajoitteen takia pystymme rajaamaan korkean johtavuuden alueen suorilla tai tasoilla. Emme siis saa havaittua kohteen yksityiskohtaista muotoa – aivan kuin kohteen ympärille olisi viritetty kireä pressu, ja näemme vain sen, emmekä sen alla olevan pihakeinun rakennetta, tai yleisemmin kappaleen pinnassa olevia painaumia tai onkaloita. Jos inkluusioita on useita, niin havaitsemme yhden suuren alueen. Matematiikan kielellä havaitsemme inkluusion konveksin verhon.

Menetelmän jota käytämme (ns. enclosure method eli kotelointimenetelmä) kehitti alunperin Ikehata Masaru, ja muitakin menetelmiä löytyy, mutta niiden soveltamista p-Laplace -luonteiseen johtavuusyhtälöön emme ole vielä yrittäneet. Ehkä joskus. Laajempaa kirjallisuuskatsausta voi lueskella artikkelista.

Tähän mennessä p-Laplace -yhtälöön perustuvassa Calderónin ongelmassa osataan tehdä seuraavaa: Isotrooppinen johtavuus ja johtavuuden ensimmäinen derivaatta saadaan selville kappaleen reunalla, ja vakiojohtavaisesta taustamateriaalista voidaan havaita inkluusion konveksi verho. Nyt näemme ainakin hiukan kappeel sisälle, mutta emme vielä tyydyttävällä tavalla.

Aiemmin tänä vuonna sain viimeisteltyä ensimmäisen esijulkaisuni, joka on luettavissa arXivista: http://arxiv.org/abs/1403.0428 . Lähetin sen myös erääseen tieteelliseen lehteen, jonka kautta se nyt on vertaisarvioitavana. Jos artikkeli hyväksytään, niin teen ehdotetut korjaukset ja se julkaistaan. Jos artikkelia ei hyväksytä, niin lähetän sen luultavasti korjattuna toiseen lehteen.

Artikkeli liittyy sähköimpedanssitomografian matemaattiseen teoriaan. Kysymys kuuluu seuraavasti: Jos meillä on jokin kappale, jonka sähkönjohtavuus haluttaisiin selvittää rikkomatta sitä, niin miten tämä mahtaisi onnistua? Johtavuuden selvittäminen olisi hyödyllinen esimerkiksi rintasyövän havaitsemisessa – syöpäkudos johtaa sähköä paremmin kuin terve kudos, koska siinä virtaa enemmän verta. Toinen sovellus mahdollistaa halkeamien ja metallisauvojen havaitsemisen betonimöykkyjen sisältä. Ongelman esitteli alunperin Alberto Calderón, joka halusi käyttää menetelmää öljyn etsimiseen maaperästä. Ongelma tunnetaan tästä syystä Calderónin ongelmana.

Calderónin ongelma on esimerkki käänteis- eli inversio-ongelmasta. Käänteisongelmassa tiedetään miten jokin fysikaalinen ilmiö toimii eli tunnetaan niin sanottu suora ongelma, joka kertoo sähkön käytöksen, kun tunnetaan kappaleen johtavuus. Tästä tiedosta ja tekemällä mittauksia halutaan selvittää tuntematon johtavuus. Mittaukset tehdään kappaleen reunalla ja kertovat potentiaalierot sekä sähkövirran suuruuden (toinen asetetaan, toinen mitataan).

Tutkin ongelman yleistystä, jossa sähkön käytöstä kuvataan epälineaarisella mallilla. Yleistyksen soveltuvuus on kyseenalaista ja kyseessä on enemmän perustutkimus, jonka voisi toivoa antavan uusia matemaattisia työkaluja alkuperäisen Calderónin ongelman tutkimiseen, kehittää teoriaa epälineaarisiin tapauksiin yleensä, tai jopa myöhemmin osoittautua soveltuvaksi itsessään.

Matemaattisesti ongelma muotoillaan parametrisoituna osittaisdifferentiaaliyhtälönä, josta reunamittauksia vastaavasta tiedosta yritetään päätellä parametrin arvo. Parametri vastaa sähkönjohtavuutta.

Olkoon \Omega \subseteq \mathbb{R}^d siisti rajoitettu alue ja ulottuvuus d > 1. Tutkitaan johtavuusyhtälöä eli painotettua Laplace-yhtälöä
\nabla \cdot (\gamma \nabla u) = 0,
jossa \gamma on sähkönjohtavuus. Sen voi olettaa positiiviseksi ja sekä ylhäältä että alhaalta rajoitetuksi funktioksi.

Potentiaali- ja sähkövirtamittaukset vastaavat Dirichlet- ja Neumann-tyyppisiä reuna-arvoja. Toiset asetetaan ja toiset saadaan selville. Tämän voi kuvata esimerkiksi DN-kuvauksella (Dirichlet to Neumann map), joka kuvaa annetut Dirichlet-reuna-arvot Neumann-arvoiksi. Kysymys kuuluu, että voidaanko johtavuus \gamma esittää DN-kuvauksen avulla.

Tutkin tämän kysymyksen yleistystä p-Laplace-yhtälölle:
\nabla \cdot (\gamma |\nabla u|^{p-2}\nabla u) = 0.
Kun p = 2, palautuu p-Laplace-yhtälö tavalliseen Laplace-yhtälöön. Potenssi p valitaan avoimelta väliltä ]1,\infty[ – rajatapaukset 1 ja \infty ovat luonteeltaan hyvin erilaisia. Yhtälön käytös on vähemmän mukavaa kuin tavallisen Laplace-yhtälön – se on vain kerran jatkuvasti derivoituva (ja derivaatta on Hölder-jatkuva), jos johtavuuden säännöllisyys tämän sallii, kun Laplace-yhtälön ratkaisut ovat analyyttisia (johtavuuden salliessa). Yhtälö ei ole lineaarinen, mikä aiheuttaa useita ongelmia, ja ratkaisut asuvat luonnostaan refleksiivisessä Banach-avaruudessa W^{1,p}, eivätkä Hilbertin avaruudessa kuten Laplace-yhtälön ratkaisut.

Mikko Salo (joka ohjaa väitöstyötäni) ja Xiao Zhong (joka ohjasi graduni) todistivat aiemmin, että p-Laplace-tilanteessa johtavuuden arvot alueen reunalla saadaan määritettyä DN-kuvauksesta. Minä laajensin heidän tulostaan näyttämällä, että myös johtavuuden ensimmäinen derivaatta saadaan selville. Sekä Mikon ja Xiaon että minun tulokseni ovat konstruktiivisia, eli tulokset olisi mahdollista toteuttaa tietokoneella, ja käyttävät vain paikallista tietoa, eli johtavuus reunapisteen lähellä saadaan selville käyttämällä tietoa vain mielivaltaisen läheltä kyseistä reunapistettä.

Jos kaikki derivaatat reunalla saadaan selville, niin analyyttinen johtavuus saadaan selvitettyä myös alueen sisuksessa. Vähemmän säännöllisen johtavuuden selvittäminen vaatisi huomattavasti vaativampia tekniikoita, jos se on edes mahdollista.